Інтегральні зображення додатно визначених ядер

Доведено можливість інтегрального зображення додатно визначеного ядра від двох пар змінних. Використано техніку побудови за цим ядром нового гільбертового простору, у якому формально комутують симетричні диференціальні оператори. При цьому ядро задовольняє систему диференціальних рівнянь із частинними похідними. Відомо, що ядро, задане в підобласті дійсної площини, не завжди припускає продовження на всю площину. Така можливість зумовлена проблемою існування комутувального самоспряженого розширення симетричних операторів. Застосовано результати, отримані автором, пов’язані з комутувальним самоспряженим розширенням у більш широкому гільбертовому просторі. Одержане інтегральне зображення за спектральною мірою, породженою розкладом одиниці операторів, дає змогу продовження додатно визначеного ядра на всю площину

Mercury Contamination in Soil, Water, Plants, and Hydrobionts in Kyiv and the Kyiv Region

In this paper, there was investigated the content of mercury in soil, plant, water, and hydrobionts in Kyiv and in the Obukhiv district of the Kyiv region. Studied territory is characterized by high anthropogenic load. The solid waste landfill in the Obukhiv district of the Kyiv region was characterized by the highest content of Hg in soil. Hg concentration in Taraxacum officinale L. was the highest among all studied plants, hence the possibility of recommending this species for phytoremediation of mercury-polluted soils. Mercury bioaccumulation of aquatic organisms (Blicca bjoerkna L., Esox lucius L., Ceratophyllum demersum L.) was much higher than in terrestrial organisms, which indicates the significantly prevailing level of availability and accumulation of mercury for aquatic species in the water environment

Trace metals' migration in soil to seepage water

In this paper the rate migration of trace metals (Pb, Cd, Cu, Zn) in polluted turf-podzol sandy loam soil was investigated in lysimetric experiment. Koller’s model was applied to obtain the ranking of the metals according to their rate of migration in soil to seepage water. Among the studied metals, the most intense migrant in the soil to seepage water was lead. Lead had highest and earliest maximum concentration in seepage water. Cooper had weak migration intensity. According to metals migration ability, they can be ranked in the following descending order: Pb > Cd > Zn > Cu. Findings are relevant to assessing the metal as dangerous

Inclusion of the Topic «The Simplest Functional Equations» in the Model Programs for Studying the Subject «Algebra and the Beginnings of Analysis»

Постановка проблеми. Дослідження питання включення теми «Найпростіші функціональні рівняння» в модельні навчальні програми вивчення предмету «Алгебра і початки аналізу» для профільних класів з поглибленим вивченням математики. Модельна навчальна програма вивчає орієнтовну послідовність досягнення очікуваних результатів навчання, зміст предмета або інтегрованого курсу та види навчальної діяльності здобувачів освіти. Включання вказаної теми має на меті розпочати творче осмислення функціональних зв’язків, існуючих в реальних системах і процесах, зокрема, екологічних, економічних та соціальних. Матеріали та методи. Теоретичний метод аналізу методичної та навчальної літератури з досліджуваного питання; порівняльний аналіз для усвідомлення різних поглядів на проблему; систематизація та узагальнення для створення рекомендацій змісту запропонованої теми, а також формулювання висновків та інтегрування педагогічного досвіду авторів, які викладають відповідні дисципліни в закладах освіти різних рівнів. Результати. Запропоновано можливий зміст теми «Найпростіші функціональні рівняння» в модельні програми вивчення предмету «Алгебра і початки аналізу», приклади для пояснення викладачем і закріплення учнями. Для деяких прикладів запропоновані різні підходи їх розв’язання; надано зручні таблиці для пошуку учнями частинних розв’язків деяких видів функціональних рівнянь. Висновки. Автори вважають, що тема «Найпростіші функціональні рівняння» буде корисною і сприйнятною для вивчення в межах предмету «Алгебра і початки аналізу» учнями профільних класів з поглибленим вивченням математики. В межах одинадцятирічної шкільної освіти, зрозуміло, часу на вивчення цієї теми знайти було неможливо за причини насиченості і щільності необхідного для вивчення матеріалу. Але в дванадцятирічній Новій Українській Школі, зазначеною більш глибокою диференціацією профільного навчання, тема «Найпростіші функціональні рівняння» може зміцнити фундаментальність математичної освіти в класах з поглибленим вивченням математики, інформатики тощо. Подальші дослідження в даному напряму можуть стосуватися методики розв’язання найпростіших рекурентних рівнянь.Formulation of the problem. Analysis of the issue of including the topic "The simplest functional equations" in the model curricula for studying the subject "Algebra and the beginnings of analysis" for specialized classes with in-depth study of mathematics. A model curriculum studies the approximate sequence of achieving the expected learning outcomes, the content of the subject or integrated course, and the types of students’ educational activities. The inclusion of this topic aims to start a creative understanding of functional relationships existing in real systems and processes, in particular, ecological, economic, and social ones. Materials and methods. Theoretical method of analysis of methodical and educational literature on the researched issue; comparative analysis to understand different views on the problem; systematization and generalization to create recommendations for the content of the proposed topic, as well as formulating conclusions and integrating the pedagogical experience of authors who teach relevant disciplines in educational institutions of various levels. Results. The possible content of the topic "The simplest functional equations" in the model programs for studying the subject "Algebra and the beginnings of analysis", examples for an explanation by the teacher, and confirmation by students are proposed. For some examples, different approaches to their solution are proposed; convenient tables are provided for students to find partial solutions to some types of functional equations. Conclusions. The authors believe that the topic "The simplest functional equations" will be useful and acceptable for studying within the scope of the subject "Algebra and the beginnings of analysis" by students of specialized classes with an in-depth study of mathematics. Within the eleven-year school education, of course, it was impossible to find time to study this topic due to the saturation and density of the material necessary for study. But in the twelve-year New Ukrainian School, marked by a deeper differentiation of specialized education, the topic "The simplest functional equations" can strengthen the fundamentality of mathematical education in classes with in-depth study of mathematics, computer science, etc. Further research in this direction may concern the method of solving the simplest recurrent equations